D 2 A -- 1 B C ∆ABC, ∠C = 90°, BD (ABC), AD = 2 BD. • Найдите /1 + ∠2.

Дано:

• ∆ABC, ∠C = 90°
• BD ⊥ (ABC)
• AD = 2BD
• Найти: ∠1 + ∠2

Решение:

1. Т.к. BD ⊥ (ABC), то BD ⊥ AB и BD ⊥ BC. Следовательно, ∆ABD и ∆CBD – прямоугольные.
2. Рассмотрим ∆ABD – прямоугольный: $$sin∠BAD = \frac{BD}{AD}$$
3. По условию AD = 2BD, следовательно, $$sin∠BAD = \frac{BD}{2BD} = \frac{1}{2}$$
4. ∠BAD = arcsin(1/2) = 30°, значит ∠2 = 30°
5. Т.к. BD ⊥ (ABC), то BD ⊥ AC. Следовательно, ∆BDC – прямоугольный.
6. Рассмотрим ∆ABC – прямоугольный, ∠C = 90°, тогда ∠1 + ∠BAC = 90°
7. Из ∆ABD, ∠ABD = 90°, значит ∠2 + ∠1 = 90°.
8. Т.к. ∠2 = 30°, следовательно ∠1 = 90° - ∠2 = 90° - 30° = 60°
9. ∠1 + ∠2 = 60° + 30° = 90°

Ответ: 90°