Даден е правоъгълен ДАВС с хипотенуза АВ = 10 и Височина СН = 3. Намерете kamemume на три- ъгълника и радиуса на Вписаната в него окръж- ност.

Решение:

Нека означим катетите на триъгълника с a и b, а радиуса на вписаната окръжност с r.

Лицето на триъгълника може да бъде изразено по два начина:

1. Като половината от произведението на катетите: \( S = \frac{1}{2}ab \)
2. Като половината от произведението на хипотенузата и височината към нея: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15 \)

Оттук следва, че \( ab = 30 \).

Прилагаме Питагоровата теорема: \( a^2 + b^2 = AB^2 = 100 \)

Имаме система уравнения:

\[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 100 \\ ab = 30 \end{cases} \]

От второто уравнение имаме \( b = \frac{30}{a} \). Заместваме в първото уравнение:

\[ a^2 + \left(\frac{30}{a}\right)^2 = 100 \]

\[ a^2 + \frac{900}{a^2} = 100 \]

\[ a^4 - 100a^2 + 900 = 0 \]

Полагаме \( t = a^2 \). Тогава \( t^2 - 100t + 900 = 0 \).

Решаваме квадратното уравнение:

\[ D = 100^2 - 4 \cdot 900 = 10000 - 3600 = 6400 \]

\[ t_1 = \frac{100 + \sqrt{6400}}{2} = \frac{100 + 80}{2} = 90 \]

\[ t_2 = \frac{100 - \sqrt{6400}}{2} = \frac{100 - 80}{2} = 10 \]

Тогава \( a^2 = 90 \) или \( a^2 = 10 \).

Следователно \( a = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \) или \( a = \sqrt{10} \).

Ако \( a = 3\sqrt{10} \), то \( b = \frac{30}{3\sqrt{10}} = \sqrt{10} \).

Ако \( a = \sqrt{10} \), то \( b = \frac{30}{\sqrt{10}} = 3\sqrt{10} \).

Тогава катетите са \( 3\sqrt{10} \) и \( \sqrt{10} \).

Радиусът на вписаната окръжност се намира по формулата \( r = \frac{a + b - c}{2} \), където c е хипотенузата.

\[ r = \frac{3\sqrt{10} + \sqrt{10} - 10}{2} = \frac{4\sqrt{10} - 10}{2} = 2\sqrt{10} - 5 \approx 1.32 \]

Отговор: Катетите са \( 3\sqrt{10} \) и \( \sqrt{10} \), а радиусът на вписаната окръжност е \( 2\sqrt{10} - 5 \).