Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Постройте сечение единичного куба плоскостью, проходящей через точки A₁, C₁ и K, если точка K лежит на ребре DC и делит ребро в отношении 1 : 4, считая от точки D. б) Найдите площадь сечения. В ответ введите результат, поделённый на √66.

Обозначим вершины куба координатами: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), а верхние вершины получим добавлением третьей координаты 1.

Так как DK : KC = 1 : 4, точка K на DC имеет координаты (1/5; 1; 0). Уравнение плоскости через A₁(0; 0; 1), C₁(1; 1; 1) и K: −x + y + 4z/5 − 4/5 = 0.

На ребре AD плоскость пересекается в точке M(0; 4/5; 0). Следовательно, сечение — четырёхугольник A₁C₁KM.

Проекция этого четырёхугольника на основание куба имеет вершины (0; 0), (1; 1), (1/5; 1), (0; 4/5). По формуле площади многоугольника её площадь равна 12/25. Коэффициент перехода от площади проекции к площади сечения равен √66/4, поэтому площадь сечения равна 12/25 · √66/4 = 3√66/25.

Ответ: 3/25.