Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $AA_1$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM:MA_1=2:1$, $BN:NC=1:1$. Пусть плоскость $DMN$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Найдите $B_1K:KB$. Ответ дайте в виде целого числа.

Question

Вопрос: $Фото задания: Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $AA_1$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что…$ Фото задания

Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $AA_1$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM:MA_1=2:1$, $BN:NC=1:1$. Пусть плоскость $DMN$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Найдите $B_1K:KB$. Ответ дайте в виде целого числа.

Accepted Answer

Пусть ребро куба равно 1. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, а вертикальная координата направлена к верхним вершинам.

Из отношения $AM:MA_1=2:1$ следует, что $M(0,0,\frac{2}{3})$. Точка $N$ — середина $BC$, поэтому $N(1,\frac{1}{2},0)$.

Плоскость через $D(0,1,0)$, $M$ и $N$ имеет уравнение $x+2y+3z-2=0$: подстановка координат каждой из этих трёх точек даёт ноль.

На ребре $BB_1$ имеем $x=1$, $y=0$. Подставим в уравнение плоскости: $1+3z-2=0$, откуда $z=\frac{1}{3}$. Значит, $KB=\frac{1}{3}$ ребра, а $B_1K=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ ребра.

Ответ: $B_1K:KB=2$.