Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку К, середину ребра АА₁, и точку В проведите плоскость а параллельно диагонали А₁C.

Для решения задачи необходимо выполнить построение плоскости α, проходящей через точку K (середину ребра AA₁) и точку B, параллельно диагонали A₁C куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

1. Отметим точку K на ребре AA₁ так, чтобы AK = KA₁.

2. Проведем прямую KB.

3. Через точку B проведем прямую, параллельную A₁C. Для этого найдем середину ребра AD, обозначим ее точкой M. Проведем отрезок BM. Отрезок BM параллелен A₁C, так как BM является средней линией в прямоугольнике AA₁CD.

4. Плоскость α определяется прямыми KB и BM. Эта плоскость проходит через точки K и B и параллельна диагонали A₁C.

5. Теперь опишем, как плоскость α пересекает грани куба:

• Плоскость α пересекает грань AA₁B₁B по прямой KB.
• Плоскость α пересекает грань ABCD по прямой BM.
• Проведем прямую через точку M параллельно KB до пересечения с ребром DD₁ в точке N. MN - линия пересечения плоскости α с гранью ADD₁A₁.
• Проведем прямую через точку N параллельно BM до пересечения с ребром C₁D₁ в точке P. NP - линия пересечения плоскости α с гранью C₁D₁DC.
• Соединим точки P и B₁. PB₁ - линия пересечения плоскости α с гранью B₁C₁CB.

Таким образом, плоскость α пересекает куб, образуя многоугольник KBMNPB₁.

Ответ: Плоскость α построена, описано её положение относительно куба.