Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AA₁, точка L — ребру DD₁. При этом A₁K : KA = 1 : 3, D₁L : LD = 2 : 1. Проведена прямая KL. Используя рисунок, ответьте на следующие вопросы. А1. Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости ABD: 1) E; 2) F; 3) L; 4) K. А2. Найдите точку пересечения прямых KL и A₁D₁: 1) F; 2) A₁; 3) D₁; 4) E. А3. Укажите линию пересечения плоскостей A₁AD и B₁EF: 1) KL; 2) B₁K; 3) BK; 4) CL. В1. Найдите длину отрезка C₁L. В2. Вычислите длину отрезка KL. С1. Найдите длину отрезка EF.

Зададим координаты куба: A=(0,0,0), D=(a,0,0), B=(0,a,0), A₁=(0,0,a), D₁=(a,0,a), C₁=(a,a,a). Тогда из отношений получаем K=(0,0,3a/4), L=(a,0,a/3).

А1. Плоскость ABD — нижняя грань куба, то есть z=0. Прямая KL пересекает её при продолжении за K; по рисунку эта точка обозначена E. Ответ: 1) E.

А2. Продолжение прямой KL пересекает прямую A₁D₁ (верхнее ребро передней грани) в точке F, обозначенной на рисунке. Ответ: 1) F.

А3. Точки K и L принадлежат плоскости A₁AD. Поскольку E и F лежат на продолжении KL, прямая EF совпадает с KL и также лежит в этой плоскости. На рисунке плоскость B₁EF пересекает плоскость A₁AD по прямой, проходящей через B₁ и K. Ответ: 2) B₁K.

В1. Отрезок C₁L лежит в правой грани куба. Его горизонтальная составляющая равна a, вертикальная — D₁L=2a/3. По теореме Пифагора: \(C₁L=\sqrt{a^2+(2a/3)^2}=a\sqrt{13}/3\).

В2. Между K и L горизонтальное расстояние равно a, а разность высот равна \(3a/4-a/3=5a/12\). Поэтому \(KL=\sqrt{a^2+(5a/12)^2}=13a/12\).

С1. E и F — точки пересечения прямой KL соответственно с плоскостями ABD (z=0) и A₁D₁ (z=a). Параметризуем KL: \((x,y,z)=(0,0,3a/4)+t(a,0,-5a/12)\). Для E, где z=0, получаем t=9/5; для F, где z=a, — t=−3/5. Разность параметров равна 12/5, следовательно, \(EF=(12/5)KL=(12/5)(13a/12)=13a/5\).

Ответ: А1 — E; А2 — F; А3 — B₁K; В1 — \(a\sqrt{13}/3\); В2 — \(13a/12\); С1 — \(13a/5\).