Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром 4 см. Найдите площадь поверхности многогранника с вершинами $$A, B_1, C, D_1$$. 1) $$32\sqrt{3}$$ см² 3) $$24\sqrt{2}$$ см² 2) $$16\sqrt{3}$$ см² 4) $$24\sqrt{3}$$ см²

Добрый день! Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам нужно найти площадь поверхности тетраэдра $$AB_1CD_1$$. Этот тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников, и нам нужно найти площадь одного такого треугольника, а затем умножить на четыре.

Площадь поверхности тетраэдра $$AB_1CD_1$$ состоит из площадей четырех равносторонних треугольников: $$AB_1C$$, $$ACD_1$$, $$AD_1B_1$$ и $$B_1CD_1$$. Сторона каждого из этих треугольников является диагональю грани куба. Если ребро куба равно 4 см, то диагональ грани куба равна $$4\sqrt{2}$$ см (по теореме Пифагора). Теперь найдем площадь одного равностороннего треугольника со стороной $$a = 4\sqrt{2}$$ см. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Подставим значение $$a$$: \[S = \frac{(4\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}\] Итак, площадь одного треугольника равна $$8\sqrt{3}$$ см². Так как у нас четыре таких треугольника, то полная площадь поверхности тетраэдра будет: \[4 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}\] Таким образом, площадь поверхности многогранника с вершинами $$A, B_1, C, D_1$$ равна $$32\sqrt{3}$$ см².