1. Дан куб АBCDAB CD1, Запишите: 1) все рёбра, перпендикулярные плоскости В,В СІС; 2) величину угла между прямой DB, и плоскостью DDC/C 2.В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁: AA-V12 c В₁D=6 см; DC-√8 см. Найдите В.С. 3. В равнобедренном треугольнике АВС: АС=АВ=√89 см, ВС=10 Прямая DA перпендикулярна плоскости данного треугольника. На расстояние от точки В до прямой ВС, если AD-15 см. 4. Найдите величину двугранного угла между боковой гранью и п основания правильной пирамиды DABC с периметром основания высотой 6/3 см. 5. Длина диагонали АС квадрата АВСD равна 20 см. Через точку Е см) этой диагонали проведена прямая FE, перпендикулярная плос квадрата. Вычислите градусную меру угла между прямой FD и пл AFC, если, FE=5√3 см.

1. Куб ABCDAB₁C₁D₁

1) Все рёбра, перпендикулярные плоскости B₁B C₁C, это рёбра AA₁, DD₁, BC и B₁C₁.

2) Угол между прямой D₁B₁ и плоскостью DD₁C₁C равен углу между D₁B₁ и D₁C₁. Так как D₁B₁C₁D - квадрат, то угол D₁B₁C₁ равен 45°.

2. Прямоугольный параллелепипед ABCDABCD₁

Дано: AA₁ = √12 см, B₁D = 6 см, DC = √8 см. Нужно найти B₁C₁.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник B₁CD. По теореме Пифагора: B₁D² = B₁C₁² + CD².
2. Подставим известные значения: 6² = B₁C₁² + (√8)².
3. Получаем: 36 = B₁C₁² + 8.
4. B₁C₁² = 36 - 8 = 28.
5. B₁C₁ = √28 = 2√7 см.

Ответ: B₁C₁ = 2√7 см

3. Равнобедренный треугольник ABC

Дано: AC = AB = √89 см, BC = 10 см. Прямая DA перпендикулярна плоскости ABC, AD = 15 см. Найти расстояние от точки D до прямой BC.

1. Пусть M - середина BC, тогда AM - высота и медиана треугольника ABC.
2. AM = √(AB² - BM²) = √(89 - 25) = √64 = 8 см.
3. DM - расстояние от D до BC.
4. DM = √(AD² + AM²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.

Ответ: Расстояние от точки D до прямой BC равно 17 см.

4. Правильная пирамида DABC

Найти величину двугранного угла между боковой гранью и основанием пирамиды DABC с периметром основания и высотой 6√3 см.

1. Пусть основание - равносторонний треугольник ABC со стороной a. Периметр P = 3a.
2. Высота пирамиды DO = 6√3 см.
3. Пусть M - середина BC, тогда DM - апофема.
4. OM = 1/3 AM = (1/3) * (a√3)/2 = a√3/6.
5. tg(∠DMO) = DO/OM = (6√3) / (a√3/6) = 36/a.
6. Зная, что периметр основания P = 3a, найдем сторону основания a. (данных не хватает, необходимо знать периметр основания)

5. Квадрат ABCD

Дано: AC = 20 см, FE = 5√3 см. FE перпендикулярна плоскости квадрата. Найти градусную меру угла между прямой FD и плоскостью AFC.

1. AO = OC = AC/2 = 10 см.
2. OE = AO - AE = 10 - AE. (AE не указан, предполагаем, что AE=x)
3. tg(∠FDO) = FE/OE = 5√3/OE.
4. sin∠FDO=FE/DF.
5. OE=AE. sin∠AEF
6. DF = √(FE² + DE²) = √(FE² + (AO² + OE²)) = \( sqrt( (5\sqrt{3})^2 + 10^2 + (10-AE)^2 ) \)