Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Докажи, что АС₁ перпендикулярно плоскости BDA1. 6) Найди синус угла между плоскостями BC1D1 и В1С1D. Иррациональные числа записывай в виде 2√3 и максимально выноси из-под знака корня полный квадрат.

Ответ: Решение ниже.

Решение:

а) Доказательство, что AC₁ перпендикулярно плоскости BDA₁:

• Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
• AC₁ - диагональ куба.
• BD и A₁D - диагонали граней куба.
• В кубе все ребра равны, а грани - квадраты.
• Диагонали квадрата перпендикулярны.
• AC₁ перпендикулярна BD и A₁D.
• Так как AC₁ перпендикулярна двум прямым в плоскости BDA₁, то AC₁ перпендикулярна плоскости BDA₁.

б) Найдем синус угла между плоскостями BC₁D₁ и B₁C₁D.

• Обе плоскости - диагональные сечения куба.
• Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к линии пересечения этих плоскостей.
• Линия пересечения плоскостей BC₁D₁ и B₁C₁D - прямая, проходящая через центр куба.
• Перпендикуляры к этой линии в каждой из плоскостей образуют угол, синус которого нужно найти.

Пусть ребро куба равно a. Тогда:

• Диагональ грани (например, BC₁) равна \(a\sqrt{2}\).
• Рассмотрим тетраэдр B₁C₁D₁C.
• Этот тетраэдр - правильный, так как все ребра равны \(a\sqrt{2}\).
• Плоскости BC₁D₁ и B₁C₁D пересекаются по линии, проходящей через середины ребер B₁C₁ и D₁C.
• Расстояние от точки B до плоскости B₁C₁D равно высоте тетраэдра, опущенной из вершины B на плоскость B₁C₁D.
• Высота правильного тетраэдра со стороной \(a\sqrt{2}\) равна \(a\frac{\sqrt{6}}{3}\).
• Расстояние между плоскостями BC₁D₁ и B₁C₁D равно двум высотам, то есть \(2a\frac{\sqrt{6}}{3}\).
• Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой куба (a), расстоянием между плоскостями и линией, соединяющей вершину B с точкой на плоскости B₁C₁D.
• Синус угла между плоскостями равен отношению высоты куба к этой линии.
• Пусть этот угол равен \(\theta\). Тогда \(\sin(\theta) = \frac{a}{2a\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\).

Иррациональные числа записываются в виде \(2\sqrt{3}\) и максимально выносятся из-под знака корня полный квадрат.

Ответ: \(\sin(\theta) = \frac{\sqrt{6}}{4}\)