1. Дан куб АВCDA,B,C,D₁.Найдите: а) вектор с началом в точке С, равный вектору DA; б) вектор с концом в точке D. противоположно направленный с вектором ВВ₁; в) |DC|, если ребро куба равно 4√2. 2. Дан правильный тетраэдр DABC. Точки М.М.К - середины ребер АВ, ВС, CD соответственно. Найдите: а) вектор с началом в точке D. равный вектору КС; б) вектор с концом в точке К, сонаправленный с вектором BD: в) AK если МП = 4√3. 3. SABCD - правильная четырехугольная пирамида. Точка О - центр основания пирамиды. Найдите вектор с началом и концом в данных точках, равный: a) AB + BS+SO: б) 2(BC-OC): в) (SB+SD)+OC: г) SA-1(CB+CD). 4. Дан вектор a = 1 − 2j + 4k. Напишите координаты вектора a 5. Упростите выражение: АВ + ВА + CD + MN + DC + NM 6. Упростите выражение: АС – ВС – PM – AP + BM 7. Упростите выражение: −3(4ā+b)−(5ā-6)+ā 8. Найдите координаты вектора EF, если Е(-2; 0; 2), F (1; −1; 3) 9. Даны векторы а{2; 2; -5}, {1; −3; -2}, найдите |а + 2b| 10. Даны векторы а{−1; 1; −5}, {4; −4; 0}, найдите За – 5b 11. О начало координат, F (5;-1;0). Найдите координаты вектора OF 12. Дан вектор а{4; 15; -1}, найдите длину a 13. Даны векторы а{−2; 0; -1}, {3; 2; 0), найдите координаты вектора ĉ = ả – 0,5b 14. Найдите скалярное произведение векторов с{2; 1; 2} и Г 15. Найдите скалярное произведение векторов с{-1; 2; 3} и 2к 16. Найдите скалярное произведение векторов с{3; -2; 0} иг 17. Найдите длину вектора А1A2{8; -1; 7} 18. Найдите координаты вектора противоположного вектору FE{−2; 5; -3} 19. Даны векторы ӑ = j – 3k, b = 3ỉ − j + 7К. Вычислите (а – 26) (2k+1-35) 20. Найдите косинус угла между векторами а{0; 5; 0} и Б{0; -√3; 1}

Решим по порядку каждый пункт задания.

1. Куб АВCDA₁B₁C₁D₁

а) Вектор с началом в точке С, равный вектору DA, это вектор ВС.

б) Вектор с концом в точке D, противоположно направленный с вектором BB₁, это вектор DD₁.

в) |DC|, если ребро куба равно 4√2, это 4√2.

2. Правильный тетраэдр DABC

а) Вектор с началом в точке D, равный вектору КС, это вектор DМ (так как М - середина АВ, a DМ || КС).

б) Вектор с концом в точке К, сонаправленный с вектором BD, это вектор ВК.

в) АК, если МП = 4√3. Здесь нужно воспользоваться свойствами правильного тетраэдра и теоремой о средней линии треугольника, что достаточно сложно без дополнительных построений. Без числового ответа.

3. Правильная четырехугольная пирамида SABCD

а) AB + BS + SO = AO

б) 2(BC - OC) = 2(BC + CO) = 2BO = BD

в) (SB + SD) + OC = (SB + SD) + OC = 2SO + OC = AC

г) SA - ½(CB + CD) = SA - ½DB = SA + ½BD = SA + BO = SO + OA + BO

4. Дано вектор a = i − 2j + 4k. Напишите координаты вектора a

Координаты вектора а: {1; -2; 4}

5. Упростите выражение: АВ + ВА + CD + MN + DC + NM

АВ + ВА + CD + MN + DC + NM = 0 + CD + DC + MN + NM = 0 + 0 = 0

6. Упростите выражение: АС – ВС – PM – AP + BM

АС – ВС – PM – AP + BM = АС + СВ – PM + PA + BM = АВ + PA + AM = PB + BM = PM

7. Упростите выражение: −3(4ā+b)−(5ā-6)+ā

−3(4ā+b)−(5ā-b)+ā = -12ā - 3b - 5ā + b + ā = -16ā -2b = -16ā -2b

8. Найдите координаты вектора EF, если Е(-2; 0; 2), F (1; −1; 3)

EF = {1 - (-2); -1 - 0; 3 - 2} = {3; -1; 1}

9. Даны векторы а{2; 2; -5}, b{1; −3; -2}, найдите |а + 2b|

а + 2b = {2 + 2; 2 - 6; -5 - 4} = {4; -4; -9}

|а + 2b| = √(4² + (-4)² + (-9)²) = √(16 + 16 + 81) = √113

10. Даны векторы а{−1; 1; −5}, b{4; −4; 0}, найдите За – 5b

За – 5b = {-3 - 20; 3 + 20; -15 - 0} = {-23; 23; -15}

11. О начало координат, F (5;-1;0). Найдите координаты вектора OF

Координаты вектора OF = координаты точки F, то есть {5; -1; 0}

12. Дан вектор а{4; 15; -1}, найдите длину a

|а| = √(4² + 15² + (-1)²) = √(16 + 225 + 1) = √242

13. Даны векторы а{−2; 0; -1}, b{3; 2; 0), найдите координаты вектора с = ả – 0,5b

с = {-2 - 1.5; 0 - 1; -1 - 0} = {-3.5; -1; -1}

14. Найдите скалярное произведение векторов с{2; 1; 2} и j

Скалярное произведение = 2 * 0 + 1 * 1 + 2 * 0 = 1

15. Найдите скалярное произведение векторов с{-1; 2; 3} и 2k

Скалярное произведение = -1 * 0 + 2 * 0 + 3 * 2 = 6

16. Найдите скалярное произведение векторов с{3; -2; 0} и i

Скалярное произведение = 3 * 1 + (-2) * 0 + 0 * 0 = 3

17. Найдите длину вектора А1A2{8; -1; 7}

|A₁A₂| = √(8² + (-1)² + 7²) = √(64 + 1 + 49) = √114

18. Найдите координаты вектора противоположного вектору FE{−2; 5; -3}

Противоположный вектор FE = {2; -5; 3}

19. Даны векторы ӑ = j – 3k, b = 3ỉ − j + 7К. Вычислите (а – 26) (2k+1-3j)

а = {0; 1; -3}, b = {3; -1; 7}

а – 2b = {0 - 6; 1 + 2; -3 - 14} = {-6; 3; -17}

2k + i - 3j = {1; -3; 2}

(а – 2b) (2k+1-3j) = -6 * 1 + 3 * (-3) + (-17) * 2 = -6 - 9 - 34 = -49

20. Найдите косинус угла между векторами а{0; 5; 0} и Б{0; -√3; 1}

cos(α) = (a · b) / (|a| * |b|)

a · b = 0 * 0 + 5 * (-√3) + 0 * 1 = -5√3

|a| = √(0² + 5² + 0²) = 5

|b| = √(0² + (-√3)² + 1²) = √(3 + 1) = 2

cos(α) = -5√3 / (5 * 2) = -√3 / 2