Дан куб CDEFC₁D₁E₁F₁. На стороне CC₁ отметили точку A так, что AC₁ = ¼ CC₁. Найдите косинус угла между прямыми AF и EE₁.

Обозначим ребро куба через a. Зададим координаты: C(0; 0; 0), F(0; a; 0), E( a; a; 0), C₁(0; 0; a), E₁(a; a; a). Так как AC₁ = ¼ CC₁, то AC = ¾a, следовательно, A(0; 0; ¾a).

Направляющие векторы прямых: AF: (0; −a; ¾a), EE₁: (0; 0; a). Поэтому косинус угла между прямыми равен отношению модуля скалярного произведения к произведению длин:

\(\cos\varphi=\dfrac{|(0,-a,\frac34a)\cdot(0,0,a)|}{\sqrt{a^2+\frac9{16}a^2}\cdot a}=\dfrac{\frac34a^2}{\frac54a^2}=\frac35=0.6.\)

Ответ: 0.6