Дан куб KLMNPRST. а) Установите взаимное расположение прямых NP и MT. б) Найдите угол между прямыми MS и LP.

а) Рассмотрим направления прямых:

• NP — диагональ боковой грани;
• MT — диагональ другой боковой грани.

Прямые NP и MT не пересекаются и не являются параллельными. Следовательно, они являются скрещивающимися.

б) Прямая MS — вертикальное ребро куба, а LP — диагональ боковой грани. Угол между ними равен углу между ребром MS и диагональю грани LP.

В прямоугольном треугольнике, образованном ребром и диагональю грани, катеты равны, поэтому

\(\tan \alpha = \frac{1}{1}=1\), откуда \(\alpha=45^\circ\).

Ответ: а) прямые NP и MT — скрещивающиеся; б) угол между прямыми MS и LP равен \(45^\circ\).