Дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = 3\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\).

Давай разберем по порядку! 1. Вспомним определение скалярного произведения: Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta)\] 2. Найдем длины векторов и угол между ними: * Длина вектора \(\overrightarrow{BC}\) равна длине стороны квадрата, то есть \(|\overrightarrow{BC}| = 3\). * Длина вектора \(\overrightarrow{CA}\) равна \(3\sqrt{2}\), так как это диагональ квадрата, a диагональ квадрата равна стороне, умноженной на корень из двух. * Угол между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равен 135 градусам. Следовательно, \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 3. Вычислим скалярное произведение: Используя формулу скалярного произведения: \[\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(135^\circ) = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) = -9\]

Ответ: -9

Ты на верном пути! Немного практики, и ты сможешь решать такие задачи как орешки!