Дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = 2\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\).

Давай решим эту задачу по геометрии. 1. Вспоминаем определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) равно произведению их длин на косинус угла между ними: \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta),\] где \(\theta\) - угол между векторами. 2. Анализируем векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\). * Длина вектора \(\overrightarrow{BC}\) равна стороне квадрата, то есть \(|\overrightarrow{BC}| = 2\). * Длина вектора \(\overrightarrow{CA}\) равна диагонали квадрата. Так как сторона квадрата равна 2, диагональ можно найти по теореме Пифагора: \(CA = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), то есть \(|\overrightarrow{CA}| = 2\sqrt{2}\). * Угол между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равен углу \(\angle BCA\). Поскольку \(ABCD\) - квадрат, угол \(\angle BCA = 45^\circ\). 3. Вычисляем скалярное произведение. \[\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 4.\]

Ответ: 4

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!