Решение:

В квадрате 11x11 всего 121 клетка. Катя записывает количество соседних отмеченных клеток (по стороне) каждый раз, когда отмечает новую клетку.

Известно, что среди записанных чисел есть 11 нулей и 10 единиц. Это означает, что есть 11 клеток, у которых нет отмеченных соседей, и 10 клеток, у которых только один отмеченный сосед.

Чтобы максимизировать количество четвёрок, нужно разместить нули и единицы так, чтобы они не мешали образованию четвёрок у других клеток.

1. Размещение нулей:

Разместим 11 нулей по краям квадрата, чтобы они минимально влияли на соседние клетки. Например, можно разместить их вдоль одной из сторон.

2. Размещение единиц:

Разместим 10 единиц так, чтобы каждая единица имела только одного соседа. Это можно сделать, чередуя отмеченные и неотмеченные клетки.

Оставшиеся клетки (121 - 11 - 10 = 100) могут быть потенциально окружены четырьмя отмеченными клетками-соседями.

Максимальное количество четвёрок достигается, когда все остальные клетки имеют по 4 соседа. Однако, размещение нулей и единиц может повлиять на это количество.

Попробуем оценить максимальное количество четвёрок:

• Если все оставшиеся 100 клеток имеют 4 соседа, то было бы 100 четвёрок.
• Но размещение нулей и единиц уменьшает это количество.

Нули и единицы будут уменьшать количество четвёрок, так как они занимают места, где могли бы быть клетки с четырьмя соседями. Однако, нужно понять, насколько сильно они влияют.

Для более точного ответа нужно рассмотреть конкретное расположение нулей и единиц и посчитать, сколько четвёрок можно получить. Поскольку точное расположение не дано, можно предположить, что оптимальное размещение даст чуть меньше 100 четвёрок.

На практике, можно получить около 80-90 четвёрок, в зависимости от расположения нулей и единиц.

Таким образом, наибольшее количество четвёрок, которое могло быть написано, составляет около 99.

Ответ: 99