Дан квадрат $ABCD$. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, $AM=\sqrt{6}$, $\angle MCB=45^\circ$. Найдите длину отрезка $DM$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Дан квадрат $ABCD$. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, $AM=\sqrt{6}$, $\angle MCB=45^\circ$. Найдите…$ Фото задания

Дан квадрат $ABCD$. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, $AM=\sqrt{6}$, $\angle MCB=45^\circ$. Найдите длину отрезка $DM$.

Accepted Answer

Пусть сторона квадрата равна $a$, а $MB=h$. Поскольку $MB\perp(ABCD)$, треугольник $MBC$ прямоугольный при $B$. Из $\angle MCB=45^\circ$ следует, что его второй острый угол тоже равен $45^\circ$, поэтому $MB=BC=a$.

В прямоугольном треугольнике $MAB$: $AM^2=AB^2+MB^2=a^2+a^2=6$. Отсюда $2a^2=6$, значит $a^2=3$.

Так как $MB$ перпендикулярна плоскости основания, треугольник $MBD$ прямоугольный при $B$. Диагональ квадрата удовлетворяет $BD^2=2a^2=6$, поэтому $DM^2=MB^2+BD^2=3+6=9$, и $DM=3$.

Ответ: $3$.

Дан квадрат \(ABCD\). Прямая \(MB\) перпендикулярна плоскости \(ABCD\), \(AM=\sqrt{6}\), \(\angle MCB=45^\circ\). Найдите длину отрезка \(DM\).

Ответ: