Дан квадрат АBCD со сторо: АВ = 2. Найдите скалярное произведение векторов ВС и СА.

Пошаговое решение:

• В квадрате ABCD сторона AB = BC = 2.
• Диагональ CA равна \(2\sqrt{2}\), так как в квадрате диагональ в \(\sqrt{2}\) раз больше стороны.
• Угол между векторами BC и CA составляет 135 градусов, так как угол BCA равен 45 градусам (диагональ делит угол квадрата пополам), а угол между BC и CA смежный с углом BCA.
• Скалярное произведение векторов BC и CA вычисляется по формуле:

\[\vec{BC} \cdot \vec{CA} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(\angle между \vec{BC} и \vec{CA})\]

• Подставляем известные значения:

\[\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)\]

• Так как cos(135°) = \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\[\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -4\]

Ответ: -4