Дан квадрат $$ABCD$$ со стороной $$AB = 3$$. Найдите скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$.

Пусть дан квадрат $$ABCD$$ со стороной $$AB = 3$$. Необходимо найти скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$.

Обозначим сторону квадрата через $$a$$, тогда $$a = 3$$.

Скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ можно найти как:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\angle BCA)$$

В квадрате $$ABCD$$, $$\overrightarrow{BC} = a$$, $$\angle BCA = 45^\circ$$.

Найдем длину вектора $$\overrightarrow{AC}$$ (диагональ квадрата):

$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$

Тогда скалярное произведение:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = a^2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \cdot \frac{2}{2} = a^2$$

Подставим $$a = 3$$:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = 3^2 = 9$$

Ответ: 9