Дан квадрат АBCD со стороной АВ = 4. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС.

Для решения данной задачи необходимо знать определение скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

$$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\alpha)$$, где $$|\vec{a}|$$ и $$|\vec{b}|$$ - длины векторов, $$\alpha$$ - угол между векторами.

В данной задаче дано, что ABCD - квадрат, следовательно, AB = 4.

Длина вектора AC равна $$4\sqrt{2}$$, так как AC - диагональ квадрата.

Угол между векторами AB и AC равен 45°.

Косинус угла 45° равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

$$cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, скалярное произведение векторов AB и AC равно:

$$(\vec{AB}, \vec{AC}) = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot cos(45°) = 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{2}{2} = 16$$

Ответ: 16