Дан квадрат АBCD со стороной АВ = 4. Найдите скалярное произведение векторов ВС и СА.

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной AB = 4. Необходимо найти скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$.

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot cos(\angle BCA)$$

Так как ABCD - квадрат, то $$|\overrightarrow{BC}| = 4$$.

Диагональ AC квадрата равна $$4\sqrt{2}$$, то есть $$|\overrightarrow{CA}| = 4\sqrt{2}$$.

$$\angle BCA = 45^\circ$$, следовательно, $$cos(\angle BCA) = cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Тогда скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ равно:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{2}{2} = 16$$

Ответ: 16