Дан квадрат ABCD. Прямая MB перпендикулярна плоскости ABCD, AM = √6, ∠MCB = 45°. Найдите длину отрезка DM.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дан квадрат ABCD, прямая MB перпендикулярна плоскости ABCD, AM = √6, угол MCB = 45°. Нужно найти длину отрезка DM. 1. Анализ условия: - ABCD - квадрат, значит, все его стороны равны, и все углы прямые. - MB перпендикулярна плоскости ABCD, значит, MB перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (например, BC и AB). - Угол MCB = 45°. 2. Решение: - Рассмотрим треугольник MBC. Так как угол MCB = 45°, и угол MBC = 90° (поскольку MB перпендикулярна BC), то угол BMC = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник MBC равнобедренный, и MB = BC. - Пусть сторона квадрата BC = x, тогда MB = x. - Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный (так как MB перпендикулярна AB). По теореме Пифагора: \[AM^2 = AB^2 + MB^2\] Из условия AM = √6, и AB = BC = x, MB = x, значит: \[(√6)^2 = x^2 + x^2\] \[6 = 2x^2\] \[x^2 = 3\] \[x = √3\] - Теперь мы знаем, что сторона квадрата равна √3, то есть BC = AB = √3, и MB = √3. - Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный и равнобедренный (так как ABCD - квадрат). По теореме Пифагора: \[BD^2 = AB^2 + AD^2\] \[BD^2 = (√3)^2 + (√3)^2\] \[BD^2 = 3 + 3\] \[BD^2 = 6\] \[BD = √6\] - Так как ABCD - квадрат, то точка O (пересечение диагоналей) делит диагональ BD пополам. Значит, BO = OD = BD / 2 = √6 / 2. - Рассмотрим треугольник MBD. Он прямоугольный (так как MB перпендикулярна плоскости ABCD, значит, MB перпендикулярна BD). По теореме Пифагора: \[MD^2 = MB^2 + BD^2\] \[MD^2 = (√3)^2 + (√6)^2\] \[MD^2 = 3 + 6\] \[MD^2 = 9\] \[MD = 3\]

Ответ: DM = 3

Отлично, ты справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!