Дан определенный интеграл: ∫₀¹ \(\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\) dx. Вычислите его значение.

Шаг 1: Сделаем замену переменной: пусть \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\) и \(dx = 2t dt\). Также изменим пределы интегрирования: когда \(x = 0\), \(t = \sqrt{0} = 0\), и когда \(x = 1\), \(t = \sqrt{1} = 1\).

Шаг 2: Перепишем интеграл с новой переменной: \[\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{1} \frac{t}{1+t} (2t) dt = 2 \int_{0}^{1} \frac{t^2}{1+t} dt\]

Шаг 3: Разделим \(t^2\) на \(1+t\) в столбик или преобразуем по-другому: \[\frac{t^2}{1+t} = \frac{t^2 - 1 + 1}{1+t} = \frac{(t-1)(t+1) + 1}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t}\]

Шаг 4: Теперь перепишем интеграл: \[2 \int_{0}^{1} \left(t - 1 + \frac{1}{1+t}\right) dt\]

Шаг 5: Интегрируем почленно: \[2 \int_{0}^{1} t dt - 2 \int_{0}^{1} 1 dt + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} dt\] \[= 2 \left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1} - 2 [t]_{0}^{1} + 2 [\ln|1+t|]_{0}^{1}\]

Шаг 6: Вычисляем значения: \[= 2 \left(\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) - 2 (1 - 0) + 2 (\ln|1+1| - \ln|1+0|)\] \[= 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 2 + 2 (\ln 2 - \ln 1)\] \[= 1 - 2 + 2 \ln 2 - 0\] \[= -1 + 2 \ln 2\] \[= 2 \ln 2 - 1\]