Дан определенный интеграл: ∫₀¹ √x / (1+√x) dx. Вычислите его значение.

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx \) воспользуемся заменой переменной.

1. Пусть \( u = \sqrt{x} \). Тогда \( u^2 = x \), и \( 2u du = dx \).
2. Изменим пределы интегрирования:
• При \( x=0 \), \( u = \sqrt{0} = 0 \).
• При \( x=1 \), \( u = \sqrt{1} = 1 \).
3. Подставим в интеграл:

\[ \int_0^1 \frac{u}{1+u} \cdot 2u du = 2 \int_0^1 \frac{u^2}{1+u} du \]

4. Разделим \( u^2 \) на \( 1+u \) или преобразуем числитель:

\[ \frac{u^2}{1+u} = \frac{u^2 - 1 + 1}{1+u} = \frac{(u-1)(u+1) + 1}{1+u} = u - 1 + \frac{1}{1+u} \]

5. Теперь проинтегрируем:

\[ 2 \int_0^1 \left( u - 1 + \frac{1}{1+u} \right) du = 2 \left[ \frac{u^2}{2} - u + \ln|1+u| \right]_0^1 \]

6. Вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница:

\[ 2 \left( \left( \frac{1^2}{2} - 1 + \ln|1+1| \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 0 + \ln|1+0| \right) \right) \]

\[ = 2 \left( \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 \right) - (0 - 0 + \ln 1) \right) \]

\[ = 2 \left( -\frac{1}{2} + \ln 2 - 0 \right) \]

\[ = 2 \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \right) = 2 \ln 2 - 1 \]

Ответ: 2ln2 - 1