Дан остроугольный треугольник ABC. Высоты этого треугольника AH и CP равны 5 см и 6 см соответственно, BP = 4,5 см. Найдите BC.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о площадях треугольника и о соотношениях сторон и высот. 1. **Обозначения:** - Пусть $$AH$$ - высота, проведенная к стороне $$BC$$, и $$AH = 5$$ см. - Пусть $$CP$$ - высота, проведенная к стороне $$AB$$, и $$CP = 6$$ см. - $$BP = 4.5$$ см. - Нужно найти $$BC$$. 2. **Площадь треугольника:** Площадь треугольника можно выразить двумя способами через разные высоты и основания: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CP$$ 3. **Выразим $$AB$$ через $$BC$$:** Используя формулу площади, получим: $$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 6$$ $$5BC = 6AB$$ $$AB = \frac{5}{6}BC$$ 4. **Рассмотрим треугольник $$CPB$$ (прямоугольный):** В прямоугольном треугольнике $$CPB$$ известна гипотенуза $$BC$$ и катет $$CP = 6$$ см. Также известен отрезок $$BP = 4.5$$ см. Нам необходимо найти длину отрезка $$PC$$. 5. **Рассмотрим треугольник $$AHB$$ (прямоугольный):** В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ известна гипотенуза $$AB$$ и катет $$AH = 5$$ см. Также известно отрезок $$BP = 4.5$$ см. Нам необходимо найти длину отрезка $$BH$$. 6. **В треугольнике $$ABC$$ нужно использовать теорему Пифагора и рассмотреть прямоугольные треугольники $$APC$$ и $$AHB$$.** По условию, треугольник $$ABC$$ остроугольный. Следовательно, точка $$P$$ лежит на стороне $$AB$$, а точка $$H$$ лежит на стороне $$BC$$. Имеем: $$AB = AP + PB = AP + 4.5$$ $$BC = BH + HC$$ Выразили $$AB$$ через $$BC$$: $$AB = \frac{5}{6} BC$$ Значит: $$\frac{5}{6} BC = AP + 4.5$$ 7. **Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHB$$.** В прямоугольном треугольнике $$AHB$$: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$(\frac{5}{6} BC)^2 = 5^2 + BH^2$$ 8. **Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CPB$$.** В прямоугольном треугольнике $$CPB$$: $$BC^2 = CP^2 + BP^2$$ $$BC^2 = 6^2 + AP^2 = 36 + AP^2$$ 9. **Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CPA$$.** В прямоугольном треугольнике $$CPA$$: $$AC^2 = CP^2 + AP^2$$ $$AC^2 = 6^2 + AP^2$$ 10. **Составим уравнение на основе $$BC^2$$.** $$BC^2 = 6^2 + PB^2$$ $$BC^2 = 36 + (\frac{5}{6} BC - 4.5)^2$$ **Решение с числовым ответом:** Площадь треугольника равна $$\frac{1}{2} \times основание \times высота$$. Таким образом, $$\frac{1}{2} \times BC \times 5 = \frac{1}{2} \times AB \times 6$$ $$5BC = 6AB$$ $$AB = \frac{5}{6} BC$$ В прямоугольном треугольнике $$CBP$$, $$BC^2 = BP^2 + CP^2$$ $$BC^2 = (4.5)^2 + 6^2 = 20.25 + 36 = 56.25$$ $$BC = \sqrt{56.25} = 7.5$$ **Ответ:** $$BC = 7.5$$ см. **Развернутый ответ для школьника:** Чтобы найти $$BC$$, мы использовали площадь треугольника и теорему Пифагора. Сначала мы выразили сторону $$AB$$ через $$BC$$, используя площади, а затем применили теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, чтобы найти значение $$BC$$. Важно помнить, что треугольник остроугольный, и высоты опущены на стороны, а не на их продолжения.