Дан отрезок АВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от концов отрезка.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка AB, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Построение:

1. Проведём отрезок AB.
2. Найдём середину отрезка AB, обозначим её точкой O.
3. Проведём прямую, проходящую через точку O перпендикулярно отрезку AB. Эта прямая и будет серединным перпендикуляром.

Доказательство:

Пусть M - произвольная точка на серединном перпендикуляре. Нужно доказать, что MA = MB.

Рассмотрим треугольники $$\triangle MOA$$ и $$\triangle MOB$$.

• MO - общая сторона.
• OA = OB (так как O - середина AB).
• $$\angle MOA = \angle MOB = 90^\circ$$ (так как MO - перпендикуляр к AB).

Следовательно, $$\triangle MOA = \triangle MOB$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что MA = MB. Таким образом, любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка AB.