Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Дан параллелепипед ABCDABCD₁. Найдите сумму векторов: а) AB + B₁C₁ + DD₁ + CD; 6) B₁C₁ + AB + DD₁ + CB₁ + BC + A₁A; B) BA + AC + CB + DC + DA.
Ответ:
Краткое пояснение: Для решения задачи будем использовать свойства параллелепипеда, а именно параллельность и равенство противоположных сторон, а также правило сложения векторов.
а) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD}\)
- Шаг 1: Заметим, что \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
- Шаг 2: Перепишем выражение: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD}\).
- Шаг 3: Сложим \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), тогда выражение будет выглядеть так: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD}\).
- Шаг 4: Заметим, что \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\), поэтому получаем \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\).
- Шаг 5: \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AD_1}\).
Ответ: \(\overrightarrow{AD_1}\)
б) \(\overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CB_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{A_1A}\)
- Шаг 1: Заметим, что \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
- Шаг 2: Перепишем выражение: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CB_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{A_1A}\).
- Шаг 3: Заметим, что \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A} = \overrightarrow{0}\), поэтому они сокращаются.
- Шаг 4: Перегруппируем векторы: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1}\).
- Шаг 5: Сложим \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), тогда выражение будет выглядеть так: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1}\).
- Шаг 6: Сложим \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{BB_1}\), поэтому получаем \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB_1}\).
Ответ: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB_1}\)
в) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\)
- Шаг 1: Перегруппируем векторы: \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\).
- Шаг 2: Сложим \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\), тогда выражение будет выглядеть так: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\).
- Шаг 3: Заметим, что \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}\), поэтому они сокращаются.
- Шаг 4: Остается \(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\).
Ответ: \(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\)
