4. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка М лежит на АВ, причем АAM : MB = 5 : 2, a 1, Кит на KAD1, причем АК : KD₁ = 3 : 5. Разложите вектор МК по векторам ВА, ВВ, и ВС a

Решение:

Пусть \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).

• Выразим вектор \(\overrightarrow{AM}\) через \(\overrightarrow{AB}\):

По условию \(AM : MB = 5 : 2\), значит, \(AM = \frac{5}{7}AB\). Тогда \(\overrightarrow{AM} = \frac{5}{7}\overrightarrow{AB}\).

• Выразим вектор \(\overrightarrow{AK}\) через \(\overrightarrow{AD_1}\):

По условию \(AK : KD_1 = 3 : 5\), значит, \(AK = \frac{3}{8}AD_1\). Тогда \(\overrightarrow{AK} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AD_1}\).

• Выразим вектор \(\overrightarrow{AD_1}\) через \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\):

\(\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1}\)

Тогда \(\overrightarrow{AK} = \frac{3}{8}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1})\).

• Выразим вектор \(\overrightarrow{MK}\) через \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{AK}\):

\(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AK} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AK}\)

\(\overrightarrow{MK} = -\frac{5}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1})\)

\(\overrightarrow{MK} = \frac{5}{7}\overrightarrow{BA} + \frac{3}{8}\overrightarrow{BC} + \frac{3}{8}\overrightarrow{BB_1}\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{MK}\) разложен по векторам \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\(\overrightarrow{MK} = \frac{5}{7}\overrightarrow{BA} + \frac{3}{8}\overrightarrow{BB_1} + \frac{3}{8}\overrightarrow{BC}\)