Дан параллелограмм ABCD (AB ≠ BC). Докажите, что: 1) OE = OF; 2) ∠PBK = ∠BCD; 3) ∠AOB = 90°. Используйте обозначения и построения на рисунках.

1) На рисунке диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, а OE и OF перпендикулярны параллельным сторонам BC и AD.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — центр симметрии параллелограмма. При центральной симметрии сторона BC переходит в AD, а перпендикуляр OE — в OF. Симметрия сохраняет длины, следовательно, \(OE=OF\).

2) По рисунку \(BP\perp AD\), \(BK\perp CD\), а \(AD\parallel BC\). Углы между соответственно перпендикулярными прямыми равны, поэтому угол между BP и BK равен углу между AD и CD. Так как AD параллельна BC, этот угол равен \(\angle BCD\). Следовательно, \(\angle PBK=\angle BCD\).

3) По рисунку AO и BO — биссектрисы углов A и B. Обозначим \(\angle DAB=\alpha\), \(\angle ABC=\beta\). Соседние углы параллелограмма supplementary: \(\alpha+\beta=180^\circ\). Тогда

\(\angle OAB=\frac{\alpha}{2}\), \(\angle ABO=\frac{\beta}{2}\).

В треугольнике AOB сумма углов равна \(180^\circ\), поэтому

\(\angle AOB=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\).

Ответ: 1) \(OE=OF\); 2) \(\angle PBK=\angle BCD\); 3) \(\angle AOB=90^\circ\).