Дан параллелограмм ABCD. Диагонали пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое k, чтобы выполнялось равенство: а) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{BD}\); в) \(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{CA}\); г) \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}\); д) \(\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{DA}\); е) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{CA}\); ж) \(\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{AM}\); з) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{CM}\); и) \(\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}\).

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}\). Так как M — середина AO, то \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AO}=\frac14\overrightarrow{AC}\), а \(\overrightarrow{OM}=\frac12\overrightarrow{OA}\).

1. \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}\), поэтому \(k=2\).
2. \(\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}\), поэтому \(k=\frac12\).
3. \(\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}=-\frac12\overrightarrow{CA}\), поэтому \(k=-\frac12\).
4. Противоположные стороны параллелограмма равны и сонаправлены как векторы: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Поэтому \(k=1\).
5. \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}\) — здесь важно направление: в параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\), следовательно, относительно \(\overrightarrow{DA}\) получаем \(k=-1\).
6. \(\overrightarrow{AM}=\frac14\overrightarrow{AC}=-\frac14\overrightarrow{CA}\), поэтому \(k=-\frac14\).
7. \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}=\frac34\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM}\), поэтому \(k=3\).
8. \(\overrightarrow{CM}=-\frac34\overrightarrow{AC}\), поэтому \(\overrightarrow{AC}=-\frac43\overrightarrow{CM}\) и \(k=-\frac43\).
9. В невырожденном параллелограмме диагонали \(AC\) и \(BD\) не параллельны. Поэтому \(\overrightarrow{AO}\), направленный вдоль \(AC\), не может быть скалярным кратным \(\overrightarrow{BD}\); такого k нет.

Ответ: а) 2; б) \(\frac12\); в) \(-\frac12\); г) 1; д) −1; е) \(-\frac14\); ж) 3; з) \(-\frac43\); и) такого k не существует.