Дан параллелограмм ABCD. Из вершин А и D проведены биссектрисы АН и DH, которые пересекаются в точке Н. Точка Н находится на стороне ВС. Докажите, что ВН = HC.

Решение:

1. В параллелограмме ABCD стороны AB || DC и AD || BC.

2. Поскольку AD || BC, а AH — биссектриса угла A, то ∠ BAH = ∠ HAD.

3. Так как AD || BC, то ∠ HAD = ∠ AHB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AH).

4. Следовательно, ∠ BAH = ∠ AHB. Это означает, что треугольник ABH равнобедренный, и AB = BH.

5. Аналогично, поскольку AB || DC, а DH — биссектриса угла D, то ∠ ADH = ∠ HDC.

6. Так как AD || BC, то ∠ ADH = ∠ DHC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DH).

7. Следовательно, ∠ HDC = ∠ DHC. Это означает, что треугольник DCH равнобедренный, и DC = HC.

8. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: AB = DC.

9. Из равенств AB = BH и DC = HC, а также AB = DC следует, что BH = HC.

Доказано.