Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB, BC, CD, DA соответственно взяты точки K, L, M, N так, что KL ∥ AC ∥ MN. Известно, что сумма площадей треугольников BKL и MDN равна половине площади параллелограмма ABCD, BL = 24, DN = 7. Пусть отрезки NL и AC пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка AN.

Обозначим через \(l\) долю стороны \(BC\), равную \(BL/BC\), а через \(m\) — долю стороны \(DA\), равную \(DN/DA\).

1. Из параллельности \(KL\parallel AC\) следует подобие треугольников \(BKL\) и \(BAC\). Поэтому \(BK/BA=BL/BC=l\), и площадь треугольника \(BKL\) составляет долю \(l^2/2\) площади параллелограмма.
2. Аналогично, из \(MN\parallel AC\) получаем, что площадь треугольника \(MDN\) составляет долю \(m^2/2\) площади параллелограмма.
3. По условию сумма этих площадей равна половине площади параллелограмма, значит \(l^2+m^2=1\). Так как противоположные стороны параллелограмма равны, \(BC=DA\), а потому \(l/m=BL/DN=24/7\). Вместе с \(l^2+m^2=1\) это даёт \(l=24/25\) и \(m=7/25\).
4. Из \(DN=m\cdot DA=7\) находим \(DA=25\). Тогда \(AN=DA-DN=25-7=18\).

Ответ: 18.