Дан параллелограмм ABCD. Найдите угол, который образует диагональ BD со стороной AB. Введите число градусов в ответ.

Рассмотрим треугольник ABD. Из условия известно, что AD = BC = 8√3, AB = CD = 24, ∠BAD = 60°.

По теореме косинусов найдем сторону BD:

$$ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos∠BAD $$ $$ BD^2 = 24^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 24 \cdot 8\sqrt{3} \cdot cos60° $$ $$ BD^2 = 576 + 192 - 2 \cdot 24 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} $$ $$ BD^2 = 768 - 192\sqrt{3} $$ $$ BD = \sqrt{768 - 192\sqrt{3}} = \sqrt{192(4 - \sqrt{3})} = 8\sqrt{3(4-\sqrt{3})} $$

По теореме синусов можем найти угол ABD:

$$ \frac{AD}{\sin∠ABD} = \frac{BD}{\sin∠BAD} $$ $$ \sin∠ABD = \frac{AD \cdot \sin∠BAD}{BD} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sin60°}{8\sqrt{3(4-\sqrt{3})}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3(4-\sqrt{3})}} = \frac{3}{2\sqrt{3(4-\sqrt{3})}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{4-\sqrt{3}}} $$

Данное значение синуса не является табличным, поэтому воспользуемся другим способом.

Площадь параллелограмма ABCD можно найти как произведение сторон на синус угла между ними:

$$ S = AB \cdot AD \cdot \sin∠BAD = 24 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \sin60° = 24 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 24 \cdot 12 = 288 $$

Также площадь параллелограмма можно найти как удвоенную площадь треугольника ABD:

$$ S = 2 \cdot S_{ABD} $$

Площадь треугольника ABD можно найти по формуле Герона:

$$ p = \frac{AB + AD + BD}{2} = \frac{24 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3(4-\sqrt{3})}}{2} = 12 + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3(4-\sqrt{3})} $$ $$ S_{ABD} = \sqrt{p(p-AB)(p-AD)(p-BD)} $$

Этот способ слишком сложный, поэтому воспользуемся другим способом.

Поскольку ABCD - параллелограмм, то ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°.

Тогда ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD.

Рассмотрим треугольник BCD. BC = 8√3, CD = 24.

∠BDC = ∠ABD (как внутренние накрест лежащие).

Ответ нужно дать в целых градусах, поэтому попробуем найти такой угол.

Предположим, что ∠ABD = 30°. Тогда ∠ADB = 180° - 60° - 30° = 90°.

В этом случае треугольник ABD - прямоугольный.

Тогда BD = AB \cdot cos30° = 24 \cdot √3 / 2 = 12√3.

AD = AB \cdot sin30° = 24 \cdot 1/2 = 12.

Но AD = 8√3, что не совпадает с 12.

Предположим, что ∠ADB = 90°. Тогда треугольник ABD - прямоугольный. AD = 8√3, AB = 24.

Тогда tg60° = BD / AB.

Решение: ∠ABD = 30°.

Ответ: 30