Контрольные задания > 1. Дан параллелограмм ABCD. О – точка пересечения диагоналей, точка М – середина стороны ВС, АВ = р, AO = n. Выразите вектор АМ через векторы рип. 2. Дан тетраэдр ABCD; точка Е – середина ребра ВС, точка М – середина отрезка DE, AC = a, AB = b. AD=c. Разложите вектор АМ по векторам a,b,c.
Вопрос:

1. Дан параллелограмм ABCD. О – точка пересечения диагоналей, точка М – середина стороны ВС, АВ = р, AO = n. Выразите вектор АМ через векторы рип. 2. Дан тетраэдр ABCD; точка Е – середина ребра ВС, точка М – середина отрезка DE, AC = a, AB = b. AD=c. Разложите вектор АМ по векторам a,b,c.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задача №1

Краткое пояснение: В этой задаче нам нужно выразить вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{n}\). Для этого используем свойства параллелограмма и правило сложения векторов.
  1. Выразим вектор \(\overrightarrow{AC}\) через вектор \(\overrightarrow{AO}\): \(\overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AO} = 2\overrightarrow{n}\)
  2. Выразим вектор \(\overrightarrow{BC}\) через вектор \(\overrightarrow{AB}\): Так как \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{p}\), а \(\overrightarrow{BC}\) параллелен \(\overrightarrow{AD}\) и равен ему, то \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{p}\)
  3. Найдём вектор \(\overrightarrow{BM}\): Точка M – середина BC, следовательно, \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{p}\)
  4. Выразим вектор \(\overrightarrow{AM}\) как сумму векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BM}\): \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{p} + \frac{1}{2} \overrightarrow{p} = \frac{3}{2} \overrightarrow{p}\)
  5. Выразим вектор \(\overrightarrow{AM}\) как сумму векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CM}\): \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = 2\overrightarrow{n} - \frac{1}{2} \overrightarrow{p}\)

Ответ: Вектор \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{p} + \frac{1}{2} \overrightarrow{p} = \frac{3}{2} \overrightarrow{p}\) или \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{n} - \frac{1}{2} \overrightarrow{p}\)

Задача №2

Краткое пояснение: В этой задаче нам нужно разложить вектор \(\overrightarrow{AM}\) по векторам \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\). Для этого воспользуемся свойствами медианы и правилами сложения векторов.
  1. Выразим вектор \(\overrightarrow{AE}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\): \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\) \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) Следовательно, \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\)
  2. Выразим вектор \(\overrightarrow{DE}\) через векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AE}\): \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\)
  3. Найдём вектор \(\overrightarrow{DM}\): Точка M – середина DE, следовательно, \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{b} - \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\)
  4. Выразим вектор \(\overrightarrow{AM}\) как сумму векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DM}\): \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{c} + \frac{1}{4} \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{b} - \frac{1}{2} \overrightarrow{c} = \frac{1}{4} \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\)

Ответ: Вектор \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\)

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю