Дан параллелограмм ABCD. Прямая МВ перпендикулярна плоскости ABCD, AD = 40, MB = 21, ∠DAB = 30°. Найдите длину отрезка МК.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам дан параллелограмм ABCD, прямая MB перпендикулярна плоскости ABCD, AD = 40, MB = 21 и угол DAB = 30°. Наша задача – найти длину отрезка MK.

1. Анализ условия задачи

* ABCD – параллелограмм.

* MB перпендикулярна плоскости ABCD.

* AD = 40.

* MB = 21.

* ∠DAB = 30°.

Необходимо найти длину отрезка MK.

2. Построение и план решения

* Определим точку K как середину AD.

* Проведём отрезок BK.

* Найдём длину BK.

* Рассмотрим треугольник MBK и найдём MK.

3. Решение

Так как K – середина AD, то AK = KD = AD / 2 = 40 / 2 = 20.

Рассмотрим треугольник ABK. В параллелограмме ABCD угол DAB равен углу BCD, а угол ABC равен углу ADC. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

Следовательно, угол ABK = 30°.

Применим теорему косинусов для треугольника ABK:

BK² = AB² + AK² - 2 * AB * AK * cos(BAK)

Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD и AD = BC. Угол BAK = 30°.

Подставим значения:

BK² = AB² + 20² - 2 * AB * 20 * cos(30°)

Нужно найти AB. В параллелограмме высота, опущенная из вершины B на сторону AD, равна h.

h = AB * sin(30°)

Также h можно найти как AK * tan(30°), где AK = 20.

h = 20 * tan(30°) = 20 * (1 / √3) = 20 / √3

Теперь найдём AB:

AB * sin(30°) = 20 / √3

AB * (1 / 2) = 20 / √3

AB = 40 / √3

Теперь подставим AB в формулу для BK²:

BK² = (40 / √3)² + 20² - 2 * (40 / √3) * 20 * cos(30°)

BK² = (1600 / 3) + 400 - 2 * (40 / √3) * 20 * (√3 / 2)

BK² = (1600 / 3) + 400 - 800

BK² = (1600 / 3) - 400

BK² = (1600 - 1200) / 3

BK² = 400 / 3

BK = √(400 / 3) = 20 / √3

Теперь рассмотрим треугольник MBK. Так как MB перпендикулярна плоскости ABCD, то угол MBK – прямой (90°). Применим теорему Пифагора:

MK² = MB² + BK²

MK² = 21² + (20 / √3)²

MK² = 441 + (400 / 3)

MK² = (1323 + 400) / 3

MK² = 1723 / 3

MK = √(1723 / 3) ≈ 24

Отлично! Теперь ты лучше понимаешь, как решать такие задачи. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!