Дан правильный многоугольник и длина радиуса \(R\) окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если: - у многоугольника 6 сторон и \(R = 18\) см (если корня в ответе нет, под знаком корня пиши 1). \(S = \) ______ \(\cdot \sqrt{\ \ } \) см\(^2\); - у многоугольника 15 сторон и \(R = 18\) см (при использовании синусов, косинусов или тангенсов их значения округляй до тысячных, ответ округли до целых). \(S = \) ______ см\(^2\).

Давай решим эту задачу по шагам. 1. Шестиугольник (6 сторон): Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса \(R\), площадь можно найти по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \] Подставим \(R = 18\) см: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (18)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 324 = 3 \cdot 162 \cdot \sqrt{3} = 486\sqrt{3} \] Итак, площадь шестиугольника равна \(486\sqrt{3}\) см\(^2\). Ответ: \(S = 486 \cdot \sqrt{3}\) см\(^2\). 2. Пятнадцатиугольник (15 сторон): Для правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(R\), площадь можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \] В нашем случае \(n = 15\) и \(R = 18\) см. Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (18)^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{15}\right) \] \[ S = \frac{15}{2} \cdot 324 \cdot \sin(24^\circ) \] Найдем \(\sin(24^\circ)\). Зная, что \(\sin(24^\circ) \approx 0.407\) (округлили до тысячных): \[ S = \frac{15}{2} \cdot 324 \cdot 0.407 \] \[ S = 7.5 \cdot 324 \cdot 0.407 = 2430 \cdot 0.407 = 989.01 \] Округлим до целых: \(S \approx 989\) см\(^2\). Ответ: \(S = 989\) см\(^2\).