Дан правильный треугольник ABC. Отмечены и соединены серединные точки всех сторон. Допустим, что для треугольника A1 B1 C1 опять повторили этот же процесс, и так n раз. Определи площадь треугольника A2 B2 C2, если сторона треугольника ABC равна 2^4 (ед. изм.).

Решение:

В правильном треугольнике ABC серединные точки сторон A, B, C образуют треугольник A₁B₁C₁. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади исходного треугольника ABC.

Аналогично, площадь треугольника A₂B₂C₂ будет в 4 раза меньше площади треугольника A₁B₁C₁.

Таким образом, площадь треугольника A_nB_nC_n будет равна \( \frac{1}{4^n} \) площади треугольника ABC.

В данной задаче мы имеем треугольник A₂B₂C₂, что соответствует \( n = 2 \).

Площадь треугольника ABC равна \( S_{ABC} \). По условию, сторона треугольника ABC равна \( 2^4 \) ед. изм. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) равна \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

В данном случае, \( a = 2^4 = 16 \).

Площадь треугольника ABC равна:

\[ S_{ABC} = \frac{(2^4)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2^8 \sqrt{3}}{2^2} = 2^6 \sqrt{3} = 64 \sqrt{3} \]

Площадь треугольника A₁B₁C₁ равна:

\[ S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 64 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} \]

Площадь треугольника A₂B₂C₂ равна:

\[ S_{A_2B_2C_2} = \frac{1}{4} S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{4} \cdot 16 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \]

В виде \( S (A_2 B_2 C_2) = \boxed{4} \sqrt{\boxed{3}} \) (кв. ед. изм.).

Ответ: S (A₂B₂C₂) = 4 \(\sqrt{\}\)3 (кв. ед. изм.).