947 Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: a) MN+NQ=MP+PQ; б) MN+NP=MQ+QP.

Краткое пояснение:

Решение:

а) Докажем, что \[\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ}\]

По правилу сложения векторов:

\[\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ}\]

и

\[\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ}\]

Следовательно, \[\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ}\]

б) Докажем, что \[\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QP}\]

Преобразуем левую часть равенства, используя правило сложения векторов:

\[\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}\]

Преобразуем правую часть равенства, используя правило сложения векторов:

\[\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{MP}\]

Следовательно, \[\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QP}\]

Оба равенства доказываются через правило сложения векторов, где сумма последовательных векторов равна результирующему вектору.

Понимание правил сложения векторов позволяет упрощать выражения и доказывать равенства в геометрии.