2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырёхугольник - ромб.

a) Рисунок к задаче:

Нарисуем пространственный четырехугольник ABCD. Отметим середины его сторон: E - середина AB, F - середина BC, G - середина CD, H - середина DA. Соединим последовательно точки E, F, G, H.

б) Докажем, что EFGH - ромб.

EF - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, EF || AC и EF = 1/2 AC.

HG - средняя линия треугольника ADC. Следовательно, HG || AC и HG = 1/2 AC.

Из этого следует, что EF || HG и EF = HG.

Аналогично, EH - средняя линия треугольника ABD. Следовательно, EH || BD и EH = 1/2 BD.

FG - средняя линия треугольника BCD. Следовательно, FG || BD и FG = 1/2 BD.

Из этого следует, что EH || FG и EH = FG.

Так как EF || HG и EH || FG, то EFGH - параллелограмм.

По условию AC = BD. Следовательно, EF = HG = EH = FG = 1/2 AC = 1/2 BD.

Так как в параллелограмме EFGH все стороны равны, то EFGH - ромб.