Дан прямоугольник \(ABCD\). В нём проведены диагонали \(AC\) и \(BD\), пересекающиеся в точке \(O\). Покажи, что площади всех четырёх треугольников: \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(AOD\) равны.

Ответ: Площади треугольников равны.

Решение:

• Диагонали прямоугольника \(ABCD\) точкой пересечения \(O\) делятся пополам, следовательно, \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
• Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(BOC\). У них общая высота, проведенная из вершины \(B\) к стороне \(AC\), и равные основания \(AO = OC\). Значит, площади этих треугольников равны: \(S_{AOB} = S_{BOC}\).
• Аналогично, для треугольников \(COD\) и \(AOD\), у них общая высота, проведенная из вершины \(D\) к стороне \(AC\), и равные основания \(AO = OC\). Значит, \(S_{COD} = S_{AOD}\).
• Теперь рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(AOB\). У них равные высоты (так как \(AO = OC\) и \(BO = OD\)) и общее основание \(AO\). Значит, площади этих треугольников равны: \(S_{AOD} = S_{AOB}\).
• Из равенства площадей \(S_{AOB} = S_{BOC}\), \(S_{COD} = S_{AOD}\) и \(S_{AOD} = S_{AOB}\) следует, что площади всех четырёх треугольников равны: \(S_{AOB} = S_{BOC} = S_{COD} = S_{AOD}\).

Ответ: Площади треугольников равны.