2. Дан прямоугольник ABCD; где O - точка пересечения диагоналей. Точка M симметрична точке O относительно стороны BC. Докажите, что четырехугольник MODC - параллелограмм. Найдите его периметр, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 28 см

Пошаговое решение:

1. Докажем, что MODC - параллелограмм.

   • Т.к. M симметрична O относительно BC, то MO ⊥ BC и BO = BM.
   • Т.к. ABCD - прямоугольник, то BC ⊥ CD.
   • Следовательно, MO || CD.
   • Т.к. O - точка пересечения диагоналей прямоугольника, то OC = OD.
   • Т.к. MO || CD и OC = OD, то MODC - параллелограмм.

2. Найдем периметр параллелограмма MODC.

   • Т.к. MODC - параллелограмм, то MC = OD и MO = CD.
   • Т.к. O - точка пересечения диагоналей прямоугольника, то OD = \(\frac{1}{2}\)AC.
   • Т.к. ABCD - прямоугольник, то AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{8^2 + 6^2}\) = \(\sqrt{64 + 36}\) = \(\sqrt{100}\) = 10 см.
   • Следовательно, OD = \(\frac{1}{2}\) \( \cdot \) 10 = 5 см.
   • Т.к. M симметрична O относительно BC, то MO = CD = 8 см.
   • Следовательно, периметр MODC равен 2 \( \cdot \) (MC + MO) = 2 \( \cdot \) (5 + 8) = 2 \( \cdot \) 13 = 26 см.
   • Т.к. M симметрична O относительно BC, то MC = OC, а OC = \(\frac{1}{2}\)AC = 5 см.
   • Тогда периметр MODC равен MC + OD + CD + MO = 5 + 5 + 8 + 8 = 26 см.

Ответ: 28 см