Дан прямоугольник ABCD. На стороне AD отмечена точка М, ∠BMD = 135°, MD = 8, CD = 6. Найдите площадь прямоугольника ABCD.

Решение:

В прямоугольнике ABCD все углы прямые. Следовательно, \( \angle CDM = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDM. По теореме Пифагора найдём длину CM:

\[ CM^2 = CD^2 + MD^2 \]

\[ CM^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

\[ CM = \sqrt{100} = 10 \]

Теперь рассмотрим треугольник CMD. У нас есть стороны CD = 6, MD = 8, CM = 10. Угол \( \angle CMD \) мы можем найти, используя теорему косинусов, но это не требуется для решения.

Нам дан угол \( \angle BMD = 135^{\circ} \).

В прямоугольнике ABCD, \( BC = AD \) и \( AB = CD = 6 \).

Рассмотрим треугольник BCM. Мы знаем BC (которое равно AD) и CM = 10. Мы не знаем BM.

Из условия задачи нам дано, что \( \angle BMD = 135^{\circ} \). Это внешний угол при вершине M для треугольника BCM, если бы точка B лежала на прямой AD. Но это не так.

Давайте использовать то, что \( \angle CDM = 90^{\circ} \). Треугольник BCM — это не прямоугольный треугольник.

В треугольнике BCD: \( BC = AD \), \( CD = 6 \). \( BD \) — диагональ.

Рассмотрим треугольник BDM. Известно: \( MD = 8 \), \( \angle BMD = 135^{\circ} \). Нам нужно найти BM и BD.

Рассмотрим треугольник BCD. \( BC = AD \), \( CD = 6 \). \( BD \) — диагональ.

Пусть \( AD = x \). Тогда \( BC = x \).

В треугольнике BCD, по теореме Пифагора: \( BD^2 = BC^2 + CD^2 = x^2 + 6^2 = x^2 + 36 \).

Теперь вернёмся к треугольнику BDM. У нас есть \( MD = 8 \) и \( \angle BMD = 135^{\circ} \).

Мы можем использовать теорему косинусов для треугольника BDM, если бы знали BM.

Давайте рассмотрим треугольник CDM. \( CD = 6 \), \( MD = 8 \), \( \angle CDM = 90^{\circ} \). \( CM = 10 \).

Рассмотрим треугольник BCM. \( BC = x \), \( CD = 6 \). \( BM \) ?

Заметим, что \( \angle BMA + \angle BMD = 180^{\circ} \) если A, M, D лежат на одной прямой, что так и есть.

Значит, \( \angle BMA = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник BMA. \( AB = 6 \). \( AM = AD - MD = x - 8 \). \( \angle BAM = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора для треугольника BMA:

\[ BM^2 = AB^2 + AM^2 = 6^2 + (x-8)^2 = 36 + x^2 - 16x + 64 = x^2 - 16x + 100 \]

Теперь рассмотрим треугольник BDM. У нас есть \( MD = 8 \), \( BD^2 = x^2 + 36 \) и \( BM^2 = x^2 - 16x + 100 \). Также \( \angle BMD = 135^{\circ} \).

Применим теорему косинусов к треугольнику BDM:

\[ BD^2 = BM^2 + MD^2 - 2 · BM · MD · \cos(\angle BMD) \]

\[ x^2 + 36 = (x^2 - 16x + 100) + 8^2 - 2 · BM · 8 · \cos(135^{\circ}) \]

\[ x^2 + 36 = x^2 - 16x + 100 + 64 - 16 · BM · (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \]

\[ x^2 + 36 = x^2 - 16x + 164 + 8 · BM · \sqrt{2} \]

\[ 36 = -16x + 164 + 8 · BM · \sqrt{2} \]

\[ 16x - 128 = 8 · BM · \sqrt{2} \]

\[ 2x - 16 = BM · \sqrt{2} \]

\[ BM = \frac{2x - 16}{\sqrt{2}} \]

Подставим это выражение для BM в уравнение \( BM^2 = x^2 - 16x + 100 \):

\[ \left( \frac{2x - 16}{\sqrt{2}} \right)^2 = x^2 - 16x + 100 \]

\[ \frac{(2x - 16)^2}{2} = x^2 - 16x + 100 \]

\[ \frac{4x^2 - 64x + 256}{2} = x^2 - 16x + 100 \]

\[ 2x^2 - 32x + 128 = x^2 - 16x + 100 \]

\[ x^2 - 16x + 28 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для x:

\[ D = (-16)^2 - 4 · 1 · 28 = 256 - 112 = 144 \]

\[ x = \frac{16 ± \sqrt{144}}{2} = \frac{16 ± 12}{2} \]

\[ x_1 = \frac{16 + 12}{2} = 14 \]

\[ x_2 = \frac{16 - 12}{2} = 2 \]

Так как M находится на стороне AD, и MD = 8, то AD (x) должно быть больше 8. Следовательно, \( x = 14 \).

AD = 14.

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон:

Площадь = AB · AD = CD · AD = 6 · 14 = 84.

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна 84.