Дан прямоугольник, ширина которого в два раза меньше длины. Разрежьте этот многоугольник: а) на две части так, чтобы из них можно было составить прямоугольный треугольник; б) на две части так, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник; в) на три части так, чтобы из них можно было составить квадрат.

Рассмотрим задачу о разрезании прямоугольника, где ширина в два раза меньше длины:

а) на две части так, чтобы из них можно было составить прямоугольный треугольник:

Разрежем прямоугольник по диагонали. Полученные два треугольника будут прямоугольными и равными.

б) на две части так, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник:

Проведём линию из середины большей стороны (длины) к двум противоположным углам меньшей стороны (ширины). Получим два одинаковых треугольника. Если разрезать прямоугольник по одной из этих линий, а затем приложить полученные части друг к другу соответствующими сторонами, можно сложить равнобедренный треугольник.

в) на три части так, чтобы из них можно было составить квадрат:

Пусть длина прямоугольника равна (2a), а ширина (a). Разрежем прямоугольник следующим образом:

1. От одного из углов отложим на большей стороне отрезок, равный ширине (a), и проведем перпендикуляр к этой стороне до пересечения с противоположной стороной. Получим квадрат со стороной (a).
2. Оставшийся прямоугольник имеет размеры (a) на (a). Разрежем его по диагонали, получив два прямоугольных равнобедренных треугольника.

Таким образом, из квадрата и двух треугольников можно сложить квадрат.