Дан прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами AB = √11 и BC = √10. Известно, что CC₁ = 10 и что точка M является серединой ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми B₁M и C₁A.

Решение:

Для решения этой задачи потребуется применение знаний о векторах и их свойствах в пространстве. Поскольку требуется найти косинус угла между двумя прямыми, мы можем использовать формулу косинуса угла между векторами.

Обозначим координаты точек:

• A(0; 0; 0)
• B(√11; 0; 0)
• C(√11; √10; 0)
• A₁(0; 0; 10)
• C₁(√11; √10; 10)
• M(0; 0; 5) — так как M — середина AA₁

Тогда координаты точки B₁ будут (√11; 0; 10).

Вектор B₁M имеет координаты:

B₁M = (0 - √11; 0 - 0; 5 - 10) = (-√11; 0; -5)

Вектор C₁A имеет координаты:

C₁A = (0 - √11; 0 - √10; 0 - 10) = (-√11; -√10; -10)

Косинус угла между векторами B₁M и C₁A можно найти по формуле:

cos(α) = (B₁M · C₁A) / (|B₁M| · |C₁A|), где (B₁M · C₁A) — скалярное произведение векторов, а |B₁M| и |C₁A| — их длины.

Считаем скалярное произведение:

(B₁M · C₁A) = (-√11) * (-√11) + 0 * (-√10) + (-5) * (-10) = 11 + 0 + 50 = 61

Находим длины векторов:

|B₁M| = √((-√11)² + 0² + (-5)²) = √(11 + 0 + 25) = √36 = 6

|C₁A| = √((-√11)² + (-√10)² + (-10)²) = √(11 + 10 + 100) = √121 = 11

Тогда косинус угла:

cos(α) = 61 / (6 * 11) = 61 / 66

Ответ: cos(α) = 61/66