Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной AB = √21. Известно, что BB₁ = 4 и что точка K — середина ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми B₁C и KD.

Привет! Разберемся с этой задачей по геометрии.

Решение:

Обозначим сторону квадрата ABCD через a , тогда a = \(\sqrt{21}\) , а высоту параллелепипеда BB₁ = 4 . Пусть K – середина ребра AA₁ , тогда AK = KA₁ = 2 .

Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{B₁C}\) и \(\overrightarrow{KD}\) . Найдем координаты точек в системе координат, связанной с параллелепипедом. Примем точку A за начало координат, а оси направим вдоль ребер AB , AD и AA₁ .

Тогда координаты точек:

• A(0; 0; 0)
• B(\( \sqrt{21} \); 0; 0)
• C(\( \sqrt{21} \); \( \sqrt{21} \); 0)
• D(0; \( \sqrt{21} \); 0)
• A₁(0; 0; 4)
• B₁( \( \sqrt{21} \); 0; 4)
• K(0; 0; 2)

Теперь найдем координаты векторов:

• \(\overrightarrow{B₁C}\) = C - B₁ = ( \( \sqrt{21} \); \( \sqrt{21} \); 0) - ( \( \sqrt{21} \); 0; 4) = (0; \( \sqrt{21} \); -4)
• \(\overrightarrow{KD}\) = D - K = (0; \( \sqrt{21} \); 0) - (0; 0; 2) = (0; \( \sqrt{21} \); -2)

Косинус угла между векторами \(\overrightarrow{B₁C}\) и \(\overrightarrow{KD}\) можно найти по формуле:

\[ cos(φ) = \frac{\overrightarrow{B₁C} \cdot \overrightarrow{KD}}{|\overrightarrow{B₁C}| \cdot |\overrightarrow{KD}|} \]

Скалярное произведение векторов:

\[ \overrightarrow{B₁C} \cdot \overrightarrow{KD} = (0 \cdot 0) + (\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}) + ((-4) \cdot (-2)) = 0 + 21 + 8 = 29 \]

Найдем длины векторов:

\[ |\overrightarrow{B₁C}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{21})^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 21 + 16} = \sqrt{37} \] \[ |\overrightarrow{KD}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{21})^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 21 + 4} = \sqrt{25} = 5 \]

Подставим значения в формулу для косинуса:

\[ cos(φ) = \frac{29}{\sqrt{37} \cdot 5} = \frac{29}{5\sqrt{37}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{37}\) :

\[ cos(φ) = \frac{29\sqrt{37}}{5 \cdot 37} = \frac{29\sqrt{37}}{185} \]

Ответ: Косинус угла между прямыми B₁C и KD равен \(\frac{29\sqrt{37}}{185}\).