Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), \(AA_1=5\), \(B_1D=8\), \(DC=\sqrt{23}\). Найдите ребро \(AD\).

В прямоугольном параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, поэтому проекция диагонали \(B_1D\) на основание — диагональ \(BD\).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(B_1BD\):

\(BD^2=B_1D^2-BB_1^2=8^2-5^2=39.\)

Диагональ основания \(BD\) и стороны \(AD\), \(DC\) также образуют прямоугольный треугольник:

\(AD^2=BD^2-DC^2=39-(\sqrt{23})^2=16,\quad AD=4.\)

Ответ: \(4\).