Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 12, BB₁ = 8, AD = 9. Найди косинус ∠C₁AC.

Решение:

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁.

AB = 12

BB₁ = 8

AD = 9

Найти: cos(∠C₁AC)

1. Определим длины сторон прямоугольного параллелепипеда:
• Длина = AB = CD = A₁B₁ = C₁D₁ = 12
• Ширина = AD = BC = A₁D₁ = B₁C₁ = 9
• Высота = BB₁ = AA₁ = CC₁ = DD₁ = 8
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁:
• AC² = AB² + BC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
• AC = \( \sqrt{225} \) = 15
• CC₁ = 8
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁AC:
• Гипотенуза C₁A = \( \sqrt{AC^2 + CC_1^2} \) = \( \sqrt{15^2 + 8^2} \) = \( \sqrt{225 + 64} \) = \( \sqrt{289} \) = 17
• Прилежащий катет к углу ∠C₁AC — это AC = 15
• Противолежащий катет к углу ∠C₁AC — это CC₁ = 8
• Косинус угла ∠C₁AC равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
• cos(∠C₁AC) = AC / C₁A = 15 / 17

Ответ: \( \frac{15}{17} \).