Дан прямоугольный параллелепипед ABCDА₁В₁С₁D₁, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной АВ = √2. Известно, что ВВ₁ = 2√7 и что точка К - середина ребра АА₁. Найдите косинус угла между прямыми В₁С и KD.

Пусть точка А имеет координаты (0, 0, 0). Тогда координаты вершин будут: А(0, 0, 0), В(√2, 0, 0), С(√2, √2, 0), D(0, √2, 0), А₁(0, 0, 2√7), В₁(√2, 0, 2√7), С₁(√2, √2, 2√7), D₁(0, √2, 2√7).

Точка К - середина ребра АА₁, следовательно, К имеет координаты (0, 0, √7).

Вектор В₁С = С - В₁ = (√2 - √2, √2 - 0, 0 - 2√7) = (0, √2, -2√7).

Вектор KD = D - K = (0 - 0, √2 - 0, 0 - √7) = (0, √2, -√7).

Косинус угла между прямыми В₁С и KD равен косинусу угла между векторами В₁С и KD. Найдем скалярное произведение векторов: В₁С · KD = (0)(0) + (√2)(√2) + (-2√7)(-√7) = 0 + 2 + 14 = 16.

Найдем длины векторов: |В₁С| = √(0² + (√2)² + (-2√7)²) = √(0 + 2 + 28) = √30.

|KD| = √(0² + (√2)² + (-√7)²) = √(0 + 2 + 7) = √9 = 3.

cos(α) = (В₁С · KD) / (|В₁С| * |KD|) = 16 / (√30 * 3) = 16 / (3√30) = 16√30 / 90 = 8√30 / 45.