Дан прямоугольный параллелепипед ABCDА₁В₁С₁D₁. В основании которого лежит прямоугольник со сторонами АВ = √5 и ВС = √15. Известно, что СС₁ = 4 и что точка М является серединой ребра АА₁. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и СА.

1. Введем систему координат: A = (0, 0, 0), B = (√5, 0, 0), C = (√5, √15, 0), D = (0, √15, 0), A₁ = (0, 0, 4), B₁ = (√5, 0, 4), C₁ = (√5, √15, 4), D₁ = (0, √15, 4). Точка M - середина AA₁, следовательно, M = (0, 0, 2).

2. Найдем векторы ВМ и СА: ВМ = M - B = (0 - √5, 0 - 0, 2 - 0) = (-√5, 0, 2). СА = A - C = (0 - √5, 0 - √15, 0 - 0) = (-√5, -√15, 0).

3. Вычислим косинус угла между векторами ВМ и СА по формуле: cos(φ) = (ВМ · СА) / (|ВМ| · |СА|).

ВМ · СА = (-√5)(-√5) + (0)(-√15) + (2)(0) = 5.

|ВМ| = √((-√5)² + 0² + 2²) = √(5 + 4) = √9 = 3.

|СА| = √((-√5)² + (-√15)² + 0²) = √(5 + 15) = √20 = 2√5.

cos(φ) = 5 / (3 * 2√5) = 5 / (6√5) = √5 / 6.