16) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA,B,C,D₁. Известно, что АВ=√6, ВС = √3 и АА₁ = 1. Найдите косинус угла между прямыми В₁D и АВ. Решение. Ответ:

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Сначала построим параллелепипед и отметим на нём нужные нам отрезки. Обозначим координаты точек: A(0;0;0), B(√6;0;0), C(√6;√3;0), D(0;√3;0), A₁(0;0;1), B₁(√6;0;1), C₁(√6;√3;1), D₁(0;√3;1). Тогда вектор B₁D = (-√6;√3;1). Вектор AB = (√6;0;0). Косинус угла между прямыми B₁D и AB равен модулю косинуса угла между векторами B₁D и AB. Косинус угла между векторами B₁D и AB вычисляется по формуле: cos(α) = (B₁D · AB) / (|B₁D| · |AB|), где B₁D · AB — скалярное произведение векторов B₁D и AB, |B₁D| и |AB| — длины векторов B₁D и AB. Найдем скалярное произведение векторов B₁D и AB: B₁D · AB = (-√6) * (√6) + (√3) * 0 + 1 * 0 = -6. Найдем длины векторов B₁D и AB: |B₁D| = √((-√6)² + (√3)² + 1²) = √(6 + 3 + 1) = √10. |AB| = √((√6)²) = √6. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: cos(α) = |-6| / (√10 * √6) = 6 / √(60) = 6 / (2√15) = 3 / √15 = 3√15 / 15 = √15 / 5.

Ответ: \(\frac{\sqrt{15}}{5}\)

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!