Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD. Его диагональ В₁D составляет с ребром AD угол 45°, а с ребром DC угол 60°. Найдите угол между прямыми В₁D и DD₁.

Решение:

• Обозначим ребра параллелепипеда: AD = a, DC = b, DD₁ = c.
• Диагональ B₁D образует угол 45° с ребром AD, следовательно, угол DAB₁ = 45°. В прямоугольном треугольнике DAB₁ имеем: tg(45°) = DB₁/AD, то есть DB₁ = a.
• Диагональ B₁D образует угол 60° с ребром DC, следовательно, угол DCB₁ = 60°. В прямоугольном треугольнике DCB₁ имеем: tg(60°) = DB₁/DC, то есть DB₁ = b√3.
• Из равенства DB₁ = a и DB₁ = b√3 следует, что a = b√3.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник DD₁B₁. В нем тангенс угла между B₁D и DD₁ равен отношению DB₁/DD₁, то есть tg(∠DD₁B₁) = a/c.
• Выразим c через a и b. В прямоугольном треугольнике DD₁C имеем: D₁C² = DC² + DD₁², то есть a² = b² + c². Подставим a = b√3: (b√3)² = b² + c², то есть 3b² = b² + c², следовательно, c² = 2b² и c = b√2.
• Теперь tg(∠DD₁B₁) = a/(b√2) = (b√3)/(b√2) = √(3/2).
• ∠DD₁B₁ = arctg(√(3/2)).

Ответ: arctg(√(3/2))